В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2.4 м и массой m = 8кг, расположенный вертикально по оси
вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой n1 = 1 c
-1
.
Cкакой частотой n2будет вращаться скамья с человеком, если он
повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент
инерции скамьи и человека равен J = 6 кг∙м2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые физические законы, такие как закон сохранения момента импульса и момент инерции.

Сначала определим, каким образом частота вращения скамьи связана с моментом инерции и моментом импульса.

Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса системы остается постоянным, если на нее не действуют внешние моменты сил. Математически это выражается следующим образом:

L1 = L2,

где L1 - момент импульса системы до поворота стержня в горизонтальное положение,
L2 - момент импульса системы после поворота стержня в горизонтальное положение.

Момент импульса можно выразить как произведение момента инерции на угловую скорость:

L = Iω.

Таким образом, для скамьи с человеком до и после поворота стержня в горизонтальное положение, у нас будут следующие выражения:

L1 = J1ω1,
L2 = J2ω2,

где J1 - момент инерции системы до поворота стержня,
J2 - момент инерции системы после поворота стержня,
ω1 - угловая скорость скамьи с человеком до поворота стержня,
ω2 - угловая скорость скамьи с человеком после поворота стержня.

Так как момент импульса должен сохраняться, мы можем записать:

L1 = L2,
J1ω1 = J2ω2.

Известно, что J1 = J (суммарный момент инерции скамьи и человека), ω1 = n1 (частота вращения скамьи с человеком до поворота стержня).
По условию задачи, J = 6 кг∙м2 и n1 = 1 с-1.

Теперь нам нужно найти J2 (момент инерции системы после поворота стержня) и ω2 (частота вращения скамьи с человеком после поворота стержня) соответственно.

J2 = J + m*l2,

где m - масса стержня и l - его длина. Из условия задачи, m = 8 кг и l = 2.4 м.

J2 = 6 кг∙м2 + 8 кг * (2.4 м)2 = 6 кг∙м2 + 8 кг * 5.76 м2 = 6 кг∙м2 + 46.08 кг∙м2 = 52.08 кг∙м2.

Теперь можно найти ω2, подставив известные значения в уравнение:

J1ω1 = J2ω2,
6 кг∙м2 * 1 с-1 = 52.08 кг∙м2 * ω2.

Решая уравнение относительно ω2, получаем:

ω2 = 6 кг∙м2 * 1 с-1 / 52.08 кг∙м2 = 0.115 с-1.

Таким образом, частота вращения скамьи с человеком после поворота стержня в горизонтальное положение будет равна 0.115 с-1.