8. До лівого плеча важеля, довжина якого 80 см, приклали силу 60 H вертикаль но вниз. Визнач масу тіла, яке потрібно підвісити до правого плеча довжу
ною 1,2 м, щоб важіль перебував у рівновазі.​

Добрый день!
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса. Момент импульса - это произведение массы тела на его угловую скорость и момент инерции.

1. Выразим момент инерции платформы с человеком. Момент инерции и платформы с человеком равен сумме моментов инерции платформы относительно её центра и человека относительно оси вращения.
Момент инерции платформы (Iп) известен и равен масса * радиус^2, то есть 2т * (3м)^2 = 18т * м^2.
Момент инерции человека (Iч) равен масса * радиус^2, то есть 60кг * (2м)^2 = 240кг * м^2.
Тогда общий момент инерции (Iобщ) равен Iп + Iч = 18000кг * м^2 + 240кг * м^2 = 18240кг * м^2.

2. Запишем закон сохранения момента импульса до начала и после начала бега человека. До начала бега момент импульса платформы с человеком должен быть равен нулю, так как платформа находится в покое. После начала бега момент импульса платформы с человеком должен сохраниться.
Момент импульса платформы с человеком до начала бега: Lдо = Iобщ * ωдо, где Lдо = 0 (так как момент импульса равен нулю), Iобщ = 18240кг * м^2, ωдо - угловая скорость платформы до начала бега.
Момент импульса платформы с человеком после начала бега: Lпосле = Iобщ * ωпосле, где Lпосле - момент импульса после начала бега (сохраняется), Iобщ = 18240кг * м^2, ωпосле - угловая скорость платформы после начала бега.

Из условия задачи известно, что скорость человека относительно платформы равна 2.5 м/с и радиус окружности, по которой он бежит, равен 2 м. То есть он проходит окружность за время 2s, где s - путь, который он проходит по окружности.
Угловая скорость человека (ωч) равна скорость / радиус, то есть ωч = 2.5 м/с / 2 м = 1.25 1/с.
Угловая скорость платформы после начала бега (ωпосле) должна быть такой, чтобы момент импульса после начала бега оставался равным моменту импульса до начала бега. То есть Iобщ * ωдо = Iобщ * ωпосле, или ωдо = ωпосле.

Заметим, что ωпосле = ωч, так как платформа вращается вместе с человеком после начала бега.
Тогда ωдо = ωпосле = 1.25 1/с.

3. Таким образом, платформа начинает вращаться с угловой скоростью 1.25 1/с.

Итак, ответ: платформа начнет вращаться с угловой скоростью 1.25 1/с, если человек будет бежать по окружности радиусом 2 м, концентричной платформе, со скоростью 2.5 м/с относительно платформы.

Для вычисления периода колебаний обруча нам необходимо знать только одно из свойств обруча - его радиус. Период колебаний обруча зависит только от его длины и значения ускорения свободного падения. В данном случае, у нас есть только радиус обруча, поэтому мы можем использовать формулу для вычисления периода колебаний математического маятника:

T = 2π * √(L/g),

где T - период колебаний (время, за которое обруч совершает одно полное колебание), π - математическая константа (приближенно равна 3.14159), L - длина обруча (в данном случае равна двум радиусам, то есть 2 * 30 см = 60 см = 0.6 м), g - ускорение свободного падения (принимается за 9.8 м/с^2).

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем приступить к вычислениям:

T = 2π * √(0.6/9.8),

T = 2π * √(0.0612),

T ≈ 2π * 0.2475,

T ≈ 1.5556 сек.

Итак, период колебаний обруча равен примерно 1.5556 секунды.