Дано:
S₁ = (1/3)*S
υ₁ = 46 км/ч
t₂ = (1/4)*t
υ₂ = 1,5*υ_cр
υ₃ = 2*υ₁
υ_max - ?
Для решения будем использовать формулу средней скорости:
υ_cр = S/t, где S - весь путь, а t - всё время
Нам нужно понять, что будет удобно использовать, чтобы составить какое-то осмысленное уравнение. Поразмышляем над промежутками времени, которые затратил автомобиль на каждый из участков пути.
Время первого:
t₁ = S₁/υ₁ = (1/3)*S/υ₁
Второго:
t₂ = S₂/υ₂ = S₂/1,5*υ_cр
Третьего:
t₃ = S₃/υ₃ = S₃/(2*υ₁)
Если теперь сложить всё время, то получится:
t = t₁ + t₂ + t₃ = (1/3)*S/υ₁ + S₂/1,5*υ_cр + S₃/(2*υ₁)
Кроме того, общее время равно:
t = S/υ_cр =>
=> S/υ_cр = (1/3)*S/υ₁ + S₂/1,5*υ_cр + S₃/(2*υ₁)
Пока ничего простого не вырисовывается: мы не знаем ни S, ни того, сколько составляет каждый из участков S₂ и S₃. Но мы знаем, сколько времени затратил автомобиль на участок S₂ - четверть общего. Скорость на этом участке тоже известна. А ещё мы знаем, что после того, как машина проехала треть всего пути, ей оставалось проехать путь, равный:
S₂ + S₃ = S - S₁ = S - (1/3)*S = S*(1 - 1/3) = (2/3)*S
Обратим внимание, что в левой части мы можем заменить S₂ на выражение:
S₂ = υ₂*t₂ = 1,5*υ_cр*(1/4)*t = 1,5*υ_cр*(1/4)*(S/υ_cр) = 1,5*υ_cр*S/(4*υ_cр) = 1,5*S/4
Хорошо. А что насчёт S₃? Можем ли мы как-то выразить его? Попробуем:
S₃ = υ₃*t₃ = 2*υ₁*t₃
Время t₃ можем представить как разность общего времени и суммы промежутков t₁ и t₂:
t₃ = t - (t₁ + t₂) = S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*t) = S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр) - получается:
S₃ = 2*υ₁*t₃ = 2*υ₁*(S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр))
Отлично. Мы получили два выражения для суммы оставшихся промежутков:
S₂ + S₃ = (2/3)*S
S₂ + S₃ = 1,5*S/4 + 2*υ₁*(S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр))
Если теперь их сравнить, то получим вполне осмысленное уравнение, из которого легко убирается S и выражается средняя скорость:
(2/3)*S = 1,5*S/4 + 2*υ₁*(S/υ_cр - ((1/3)*S/υ₁ + (1/4)*S/υ_cр) = 1,5*S/4 + 2*υ₁*(S/υ_cр - (1/3)*S/υ₁ - (1/4)*S/υ_cр)
(2/3)*S = 1,5*S/4 + 2*υ₁*S/υ_cр - 2*υ₁*(1/3)*S/υ₁ - 2*υ₁*(1/4)*S/υ_cр
(2/3)*S = 1,5*S/4 + 2*υ₁*S/υ_cр - (2/3)*S - (1/2)*υ₁*S/υ_cр - теперь делим обе части уравнения на S:
2/3 = 1,5/4 + 2υ₁/υ_cр - 2/3 - (1/2)*υ₁/υ_cр - переносим числа влево:
2/3 - 1,5/4 + 2/3 = 2υ₁/υ_cр - (1/2)*υ₁/υ_cр
4/3 - 1,5/4 = (2υ₁ - (1/2)υ₁)/υ_cр
(16 - 4,5)/12 = υ₁*(2 - 1/2)/υ_cр
11,5/12 = 1,5υ₁/υ_cр - выражаем υ_cр:
υ_cр = 1,5υ₁ : (11,5/12) = 1,5υ₁*12/11,5 = 1,5*46*12/11,5 = 72 км/ч
Теперь находим все неизвестные скорости и сравниваем:
υ₁ = 46 км/ч
υ₂ = 1,5*υ_cр = 1,5*72 = 108 км/ч
υ₃ = 2*υ₁ = 2*46 = 92 км/ч, получается, что:
υ₁ < υ₃ < υ₂ => υ₂ = υ_max = 108 км/ч
Предположим, что путь равен 300 км. Тогда общее время равно:
t = S/υ_cр = 300/72 = 4,16666... = 4,17 часа
Промежуток времени t₂ равен четверти всего времени:
t₂ = (1/4)*t = 1,4*4,17 = 1,0425 часа
t₁ найдём из формулы:
S₁ = υ₁*t₁ => t₁ = S₁/υ₁ = (1/3)*S/υ₁ = (1/3)*300/46 = 100/46 = 2,1739... = 2,17 часа
Тогда t₃ = t - (t₁ + t₂) = 4,17 - (2,17 + 1,0425) = 0,9575 часа
Найдём все участки пути:
S₁ = (1/3)*S = 300/3 = 100 км
S₂ = υ₂*t₂ = 108*1,0425 = 112,59 = 112,6 км
S₃ = υ₃*t₃ = 92*0,9575 = 88,09 = 88 км
Сложим:
100 + 112,6 + 88 = 300,6 - погрешность в 0,6 обусловлена округлением общего времени и округлением промежуточных результатов. А так всё сходится.
ответ: 108 км/ч.
