Дано: r1 =r 2 =0
R1 =0,5Ом
R 2 =3Ом
R 3 =26Ом
Е 1 =276В
Е 2 =250В

Найти: I 1 , I 2 , I 3 - Методом узловых и контурных уравнений

Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию
W = mgh.

При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0  и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует:
X0^2 + (R-h)^2 = R^2
Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2
Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h
X0^2 = 2*R*h

Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия:
h = X0^2/2R

Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид:
W = m*g*X0^2/2R

Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна:
T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2
поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.

При этом максимальная линейная скорость шарика
V0 = Omega*r, где r = радиус шарика =>
Omega = V0/r

T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2

Если шарик совершает гармонические колебания по закону
x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону
v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)

Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна
V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.

Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид:
T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).

Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен
I = (2/5)mr^2, то

T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2

В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.

(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R
отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:

(7/5)*omega^2 = g/R

и окончательно
omega^2 = (5/7)*(g/R)
и
omega = sqrt(5g/7R).

Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi
niu = sqrt(5g/7R)/2Pi

Период T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g)

1) выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме погруженного под воду тела Fa=p(ж)Vтпв g, где p(ж) - потность жидкости,Vтпв - объем тела под водой, g = 10 Н/кг, Vтпв= 0,04м3 х 3/4= 0,03 м3,

Fa=1000 кг/м3 х 0,03 м3 х 10 Н/кг = 300 Н

2) Чтобы вытащить из воды ведро, необходимо приложить силу, равную равнодействующей сил тяжести и архимедовой, так как эти силы направлены в противоположные стороны. F= Fтяж-Fa; Fтяж= mg,где m - масса тела, g = 10Н/кг; Fa=p(ж)Vт g, где p(ж) - потность жидкости,Vт - объем тела (берем весь объем, потому что все тело погружено под воду), g = 10 Н/кг

F= Fтяж-Fa=15кг х 10Н/кг - 1000кг/м3 х 0,01м3 х 10Н/кг= 150Н-100Н=50Н

3) Плавать может тело лишь в том случае, если архимедова сила и сила тяжести равны, если cила тяжести больше архимедовой силы, то тело утонет, если меньше, то всплывет. Сравним эти две силы.

Fтяж= mg,где m - масса тела, g = 10Н/кг; архимедова сила равна весу жидкости в объеме погруженного в жидкость тела; зная массу вытесненной жидкости, легко вычислить ее вес : Fa=Р(ж)=m(ж) g, где

 Р(ж) - вес жидкости, m(ж)- масса жидкости, g = 10Н/кг

Fтяж=3кг х10Н/кг = 30Н; Fa=2,5 кг х 10Н/кг=25Н,

сила тяжести больше архимедовой силы, следовательно тело утонет

4) Найдем грузоподъемность плота( Ргруза - вес груза, который может выдкржать плот и не утонуть) грузоподъмность равна разности архимедовой силы и силы тяжести плота Ргруза= Fa- Fтяж; Fтяж= mg,где m - масса тела, g = 10Н/кг; m=p(т)Vт, где p(т) - плотность тела ( сосна сухая =400 кг/м3), Vт - объем тела ;Fa=p(ж)Vт g, где p(ж) - потность жидкости,Vт - объем тела , g = 10 Н/кг; Vт=2м х 0,2м х 0,1м х 10 брусьев=0,4 м3

Fтяж=p(т)Vтg= 400 кг/м3 х 0,4м3 х 10Н/кг = 1600 Н

Fa=1000 кг/м3 х 0,4м3 х 10Н/кг= 4000 Н

Ргруза=4000 Н- 1600 Н=2400Н,

по весу груза, который может выдержать плот вычислим массу этого груза  m(груза)=Ргруза : g= 2400 Н : 10Н/кг=240 кг - может перевезти плот за один раз, следовательно 800 кг можно перевезти лишь в несколько этапов.