Пустую бутылку при атмосферном давлении 750 мм.рт.ст. закрыли пробкой диаметром 4 см. чтобы определить силу, необходимую для того чтобы эту пробку вытащить, бутылку поместили под колокол, из которого стали откачивать воздух. Когда давление под колоколом стало 160 мм.рт.ст., пробка была вытолкнута из бутылки. Какая сила понадобилась для этого?

Ладно, без шуток.
Пусть начальная масса воды равна m кг, a х кг испарилось, тогда замерзло (m-x) кг. Полагаем, что все тепло отнятое от замерзающей воды ушло на испарение остальной части. Составим уравнение теплового баланса (да, и в вакууме воду для кипения не надо нагревать до 100°С, она может кипеть и при 0°С).

сократим обе части на х

Выразим величину m/x

тогда обратная величина х/m

Но ведь x/m это выражение  для той части воды, которая испарилась.
Если за одну секунду испарялось 0,01m воды (n=0,01 начальной массы), то часть x/m испарится за :




ответ: время испарения-замерзания Δτ≈12,1 с.

Центр масс определяется радиус-вектором:
r = Σr₁m₁ / Σm₁, где ₁ -- это я так записал индекс i.
Рассмотрим центр масс системы из двух тел:
Если начало отсчёта поместить в центр масс, тогда получим:
r₁·m₁ + r₂·m₂ = 0 или r₁·m₁ = -r₂·m₂.
Т. е. оба тела и центр масс расположены на одной прямой, при этом центр масс находится на отрезке соединяющем два тела.
Ну а если тела и центр масс расположены на одной прямой, можем спокойно перейти от векторов и их модулям.
В нашем случае: |r₁| = L₁, |-r₂| = L₂.
Вот и получаем: m₁·L₁ = m₂·L₂, где L₁ + L₂ = L.