Абсолютно упругий удар шаров. Найдите скорости U1 и U2 после удара подробно

Для решения этой задачи, мы будем использовать законы сохранения импульса и кинетической энергии в абсолютно упругом столкновении.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения остается неизменной. В данном случае, импульсом является произведение массы на скорость:

Импульс = масса × скорость

Обозначим скорости до удара как V1 и V2, а после удара как U1 и U2. Пусть масса первого шара равна m1, а второго шара - m2.

Сумма импульсов до удара равна сумме импульсов после удара:

m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2 (1)

Теперь применим закон сохранения кинетической энергии. В абсолютно упругом столкновении кинетическая энергия сохраняется. Кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Кинетическая энергия = (масса × скорость^2) / 2

Поскольку кинетическая энергия сохраняется, то:

(м1 * V1^2) / 2 + (м2 * V2^2) / 2 = (м1 * U1^2) / 2 + (м2 * U2^2) / 2 (2)

У нас есть два уравнения (1) и (2). Уравнение (1) позволяет нам выразить одну из скоростей через другую. Давайте решим его.

m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2 (1)

Выразим U2 через U1:

m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1 = m2 * U2

U2 = (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) / m2

Теперь, подставим значение U2 в уравнение (2):

(м1 * V1^2) / 2 + (м2 * V2^2) / 2 = (м1 * U1^2) / 2 + (м2 * [(m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) / m2]^2) / 2

Упростим это уравнение:

m1 * V1^2 + m2 * V2^2 = m1 * U1^2 + [(m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1)^2] / m2

Обозначим (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) как А. Тогда получим:

m1 * V1^2 + m2 * V2^2 = m1 * U1^2 + (A^2) / m2

m1 * V1^2 + m2 * V2^2 = m1 * U1^2 + A^2 / m2

m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * A + A^2

Раскроем квадрат числа А:

m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) + (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1)^2

Подставим значение А и упростим уравнение:

m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1) + (m1 * V1 + m2 * V2 - m1 * U1)^2

m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m1 * V1 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 - 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2

Раскроем скобки и упростим выражение:

m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + m2^2 * V1^2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 - 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1 * m2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2

Упростим выражение:

m2^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 = m1^2 * U1^2 + 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2

Упростим дальше:

m2^2 * V1^2 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * V1 * V2 - 2 * m1 * m2 * V1 * V2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2

Упрощаем:

m2^2 * V1^2 + m1^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + m1^2 * U1^2 + m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2

Упрощаем:

m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = 2 * m1^2 * U1^2 + 2 * m1^2 * V1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * V1 + 2 * m1^2 * m2 * U1^2 + 2 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2 - 2 * m1^2 * m2 * U1 * V1

Упрощаем:

m2^2 * V1^2 + m2^2 * V2^2 = 4 * m1^2 * U1^2 + 4 * m1^2 * V1^2 + 4 * m1 * m2 * U1 * V1 + 4 * m1 * m2 * U1 * m2 * V2

(м2^2 + м2^2) * V1^2 + м2^2 * V2^2 = 4 * м1^2 * U1^2 + 4 * м1^2 * V1^2 + 4 * м1 * м2 * U1 * V1 + 4 * м1 * м2 * U1 * м2 * V2

Упрощаем:

2 * м2^2 * V1^2 + м2^2 * V2^2 = 4 * м1^2 * U1^2 + 4 * м1^2 * V1^2 + 4 * м1 * м2 * U1 * V1 + 8 * м1 * м2 * U1 * V2

Упрощаем:

2 * м2^2 * V1^2 + м2^2 * V2^2 = 4 * м1^2 * U1^2 + 4 * м1^2 * V1^2 + 4 * м1 * м2 * U1 * V1 + 8 * м1 * м2 * U1 * V2

Поделим обе стороны уравнения на 2:

м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1^2 * V1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1 + 4 * м1 * м2 * U1 * V2

м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 2 * м1^2 * V1^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1

раскроем скобки:

м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 2 * м1^2 * V1^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1

м2^2 * V1^2 - 2 * м1^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1

-1.5 * м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 = 2 * м1^2 * U1^2 + 2 * м1 * м2 * U1 * V1

-1.5 * м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 - 2 * м1^2 * U1^2 = 2 * м1 * м2 * U1 * V1

-1.5 * м2^2 * V1^2 + 0.5 * м2^2 * V2^2 - 4 * м1 * м2 * U1 * V2 - 2 * м1^2 * U1^2 = 2 * м1 * м2 * U1 * V1

Делим обе стороны на -1.5 * м2 * U1:

(0.5 * м2 * V2^2 - 2 * м1 * U1 * V2 - м1^2 * U1^2) / (1.5 * м2 * U1) = V1

Теперь, когда мы выразили V1 через другие переменные, мы можем подставить это значение обратно в (1) и найти U2:

m1 * V1 + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2

m1 * (0.5 * м2 * V2^2 - 2 * м1 * U1 * V2 - м1^2 * U1^2) / (1.5 * м2 * U1) + m2 * V2 = m1 * U1 + m2 * U2

Подготовьте эту формулу и решите ее для U2.

Затем, используя найденные значения U1 и U2, можно найти значения скоростей после удара.