15. В вертикальном закрытом с обеих сторон цилиндре находится в равновесии тяжелый
поршень. Над поршнем и под ним находятся равные количества воздуха при одинаковой
температуре. При температуре Т= 300 К отношение объема воздуха над поршнем к объему под
поршнем равно 4. При какой температуре отношение объемов станет равным 3? Трения нет.

Р₀ = 20Н
Р₁ =  18,7  Н 
g ≈ 10 Н/кг   (ускорение свободного падения)
ρ воды = 1000  кг/м³  (плотность воды по тбл.)
ρ золота   = 19320 кг/м³  (плотность золота по табл.)
Масса короны:
m =  Р₀ / g    
m = 20 / 10  = 2  кг
Найдем Архимедову силу:
Fₐ = Р₀ - Р₁ ,    ⇒    Fₐ = 20 - 18.7 = 1.3 Н
Объем короны :
V= Fₐ/(ρ воды  * g)    ⇒ V=  1.3 /(1000 * 10) = 1.3/10⁴ = 0.00013 м³
Плотность золота короны :
ρ =m/V         ⇒  ρ =  2/0.00013  =  15384.615 кг /м³  
15384,615 кг/м³ ≠  19320   кг/м³  ⇒ не думаю, что наша корона из чистого золота.

Масса короны из чистого золота была бы:
m₁ = ρ золота   * V        ⇒  m₁ = 19320 *  0.00013 = 2.5116  кг
Разница по массе:
Δm = m₁ - m       ⇒ Δm = 2.5116  - 2 = 0.5116 кг  

ответ: нет,  корона не из чистого золота.

1) В твёрдых телах   р=F/S, поэтому, чтобы изменить давление нужно изменить силу или площадь опоры.
   В жидкостях и газах р=ρgh, чтобы изменить давление, нужно изменить плотность жидкости (газа)  ρ  или высоту столба жидкости (газа) h.
2) Так на тело, помещённое в жидкость или газ действуют 2 силы: сила тяжести и архимедова сила и направлены они противоположно друг другу, поэтому если Fтяж=Fа, то тело находится в равновесии внутри жидкости
если  Fтяж>Fа,  то тело тонет
если Fтяж<Fа, то тело всплывает