При малых отклонениях х функция cos(bx) принимает следующий вид (разложение в ряд Маклорена вблизи нуля): cos(bx) ≈ 1 - 
= 1 - 
⇒ потенциальная энергия будет выглядеть как:
U = U₀·(1 – cos(bx)) ≈ U₀·( 1 - 1 + ) = U₀·, а кинетическая энергия:
Е = 
, где v = dx/dt = x' – скорость данной частицы. Далее согласно закону сохранения энергии для консервативных систем: Е + U = const, то есть сумма кинетической и потенциальной энергии неизменна во времени. Затем продифференцируем выражение Е + U = const по t:
, 
(U₀· + mv²/2) = 0 ⇒ U₀·2b²x·x'/2 + 2mv·v'/2 = 0
⇒ U₀·b²x·x' + mx'·x'' = 0 ⇒ x'·(U₀·b²x + m·x'') = 0 ⇒ U₀·b²·x + m·x'' = 0 ⇒
x'' + 
·x = 0 ⇔ x'' + ω²₀·x = 0 – получилось уравнение гармонических колебаний, где ω₀ - частота малых (собственных) колебаний ⇒
ω₀ = 
Защита от астероидов включает в себя ряд методов, с которых можно изменить траекторию околоземных объектов и предотвратить вероятное катастрофическое импактное событие. Падение достаточно большого астероида или другого околоземного объекта вызовет цунами, огненные смерчи размером с континент, или импактную зиму (в стратосферу поднимется огромное количество пыли, которое закроет солнце), — или даже несколько апокалиптических событий одновременно. Шестьдесят пять миллионов лет назад Земля столкнулась с объектом диаметром около десяти километров, в результате чего образовался кратер Чиксулуб, и произошло Мел-палеогеновое вымирание, предположительно ставшее причиной вымирания динозавров.
Вероятность такого события в настоящее время не выше, чем в любое другое время в истории Земли, но рано или поздно, оно произойдёт. Недавние астрономические события, такие как столкновение кометы Шуме́йкеров — Ле́ви 9 с Юпитером, падение Челябинского метеорита в 2013 году и растущее число объектов в списке Sentry Risk Table, привлекли внимание к таким угрозам, а существующие технологии могут предотвратить столкновения подобных объектов с Землёй.
