Человек, рост которого составляет 186 см, стоит под фонарём. Его тень при этом составляет 167 см. Если он отойдёт от фонаря ещё на 0,22 м, то его тень станет равна 211 см. На какой высоте над землёй висит фонарь?

Запишем уравнение в виде:
r(t) = x(t)·i + y(t)·j+z(t)·k

Имеем:
x(t) = sin (0,16·t)                   x(6) = 0,82
y(t) = cos²(0,16·t)                  y(6) = 0,33 
z(t) = 0
Делаем вывод, что точка движется в плоскости ХОY

Скорость - первая производная от координаты.
Имеем:
Vx(t) = 0,16·cos (0,16·t)
Vx(6) = 0,16·cos (0,16·6) ≈ 0,09 м/с

Vy(t) = -2·0,16·cos(0,16·t)·sin (0,16·t) = -0,16·sin(0,32·t)    - двойной угол.
Vy(6) = -0,16·sin (0,32·6) ≈ - 0,15 м/с
V=√(0,09²+(-0,15)² )= 0,17 м/с

Ускорение - производная от скорости;
ax(t) = -0,16²·sin (0,16·t)
ax(6) = -0,16²·sin (0,16·6) ≈ 0,002 м/с2

ay(t) = -0,16·0,32·sin (0,32·t) 
ay(6) = -0,16·0,32·cos (0,32·6) ≈ - 0,018 м/с²
a=√(0,002²+(-0,018)² )= 0,018 м/с²

Находим траекторию:
sin²(0,16)=x²
cos²(0,16)=y
Сложим:
1=x²+y

y=1-x²   - уравнение ПАРАБОЛЫ.

График смотри в скрине

Cколько воды, взятой при 50 градусах необходимо, чтобы превратить в воду 10 кг льда, взятого при -10 градусов в алюминиевой емкости массой 5 кг.
Напишем уравнение теплового баланса:

Qв = Qл + Qп + Qа ;

Qв – теплота, отданная горячей водой,
Qл – теплота, получаемая нагреваемым льдом,
Qп – теплота, получаемая плавящимся льдом,
Qё – теплота, получаемая алюминиевой ёмкостью.

to – конечная температура,
tв = 50°С – температура горячей воды,
tл = –10°С – начальная температура льда и ёмкости,

mв – масса воды,
mл = 10 кг – масса льда,
mё = 5 кг – масса алюминиевой ёмкости,

с = 4190 Дж/кг°С – теплоёмкость воды,
с/2 = 2095 Дж/кг°С – теплоёмкость льда,
сё = 920 Дж/кг°С– теплоёмкость алюминия,

Л = 340 000 Дж/кг – теплота плавления льда,

Qв = c mв ( tв - to ) ;
Qл = (c/2) mл ( to – tл ) ;
Qп = Л mл ;
Qё = сё mё ( to – tл ) ;

Тогда получается, что:

Qв = Qл + Qп + Qа ;
c mв ( tв - to ) = (c/2) mл ( to – tл ) + Л mл + сё mё ( to – tл ) ;
c mв tв - c mв to = (c/2) mл to – (c/2) mл tл + Л mл + сё mё to – сё mё tл ;
c mв to + (c/2) mл to + сё mё to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
( c mв + (c/2) mл + сё mё ) to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
to = ( c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ) / ( c mв + (c/2) mл + сё mё ) > 0 ;
Знаменатель – положителен, значит должен быть положителен и числитель:
c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл > 0 ;
mв tв > (Л/с) mл – (1/2) mл tл – (сё/с) mё tл ;
mв > ( Л / (с tв) ) mл + (1/2) mл |tл|/tв + (сё/с) mё |tл|/tв ;
[1]    mв > mл ( Л / (с tв) + |tл|/(2tв) ) + (сё/с) mё |tл|/tв ;
либо:
[2]    mв > mл ( Л / (с tв) ) + ( mл/2 + (сё/с) mё ) |tл|/tв ;

Посчитаем по [1]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) + 10/100 ) + (920/4190)*5*10/50 = 17.5 кг ;
Посчитаем по [2]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) ) + ( 10/2 + (920/4190)*5 ) 10/50 = 17.5 кг ;

Всё сходится. Нужно взять больше, чем 17.5 кг (17.5 литров) воды, тогда весь лёд, взятый в алюминиевой ёмкости при –10°С удастся растопить.