Під час спалаху блискавки за 0,001с в атмосферу виділяється 18 ∙ 105 Дж енергії. Обчисліть, скільки часу зміг би працювати, використовуючи цю енергію, електродвигун піднімального крана. Напруга дорівнює 360 В, сила струму в двигуні — 50 А.

1. Фильтрация сигналов. Например, у нас есть постоянный сигнал, который нам хотелось бы видеть совсем постоянным. А какие-то приборы в цепи мешают этому - то включаются, то выключаются, немного изменяя напряжение. В этих случаях ставят конденсатор с этой линии на землю - специальный провод, относительно которого все напряжения мы и считаем. В обычном состоянии ток через конденсатор не идёт. Как только будет какие-то возмущения - они все уползут на землю через него, не добравшись до нашего важного агрегата. (иначе это Фильтр нижних частот)
2. Разделение сигнала. Как уже сказали, конденсатор проводит только изменяющийся сигнал, не пуская постоянный. И это пользуют в различных усилителях - например, звуковых. Вывод наушников, например, соединён с устройством воспроизведения через него. И модулированный звуком сигнал пчерез него свободно проходит. Кроме того, это фильтр высоких частот - чем выше частота сигнала, тем лучше он через него пролезает.
3. Запас энергии. Так как при разрядке конденсатор создаёт очень большой ток, его можно пользовать во всех приборах, где это надо: как уже приводили пример, вспышка в фотоаппарате. От батарейки такой ток забрать никак не получится. Силушки не хватит. А вот если за некоторое время зарядить конденсатор, а потом разрядить на вспышку - всё будет как надо. Это же явление можно использовать ля увеличения напряжения переменного тока. (схема - умножитель напряжения) . Конденсаторы соединены таким хитрым образом, что за половину периода заряжаются, а за другую половину разряжаются, увеличивая амплитуду напряжения)
Конденсатор может использоваться как минибатарейка для ключей от домофонов. Там всего два контакта - когда таблетка подносится к замку, конденсатор внутри неё заряжается, и, пока не разрядился, микросхема отдаёт ключ замку. Дверь открывается =) И никаких батареек не надо.
4. Выделение частоты. Вот в радио используется - антенна ловит всевозможные радиосигналы всех станций, а колебательный контур (конденсатор и индуктивность) пропускают только неширокую полосу частот. Используя это, можно выделять конкретные станции из всего спектра, потом фильтром низких частот (или иначе) выделять звуковую модуляцию. . И слышать звук =)

Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию
W = mgh.

При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0  и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует:
X0^2 + (R-h)^2 = R^2
Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2
Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h
X0^2 = 2*R*h

Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия:
h = X0^2/2R

Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид:
W = m*g*X0^2/2R

Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна:
T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2
поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.

При этом максимальная линейная скорость шарика
V0 = Omega*r, где r = радиус шарика =>
Omega = V0/r

T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2

Если шарик совершает гармонические колебания по закону
x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону
v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)

Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна
V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.

Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид:
T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).

Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен
I = (2/5)mr^2, то

T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2

В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.

(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R
отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:

(7/5)*omega^2 = g/R

и окончательно
omega^2 = (5/7)*(g/R)
и
omega = sqrt(5g/7R).

Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi
niu = sqrt(5g/7R)/2Pi

Период T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g)

Уф.