Рассмотрим случай вращения твердого тела вокруг некоторой произвольной оси 00, (рис. 5.5). Вектор полного момента импульса L тела относительно неподвижной точки на оси вращения в общем случае не параллелен вектору угловой скорости о) и вычисляется согласно определению (4.36):
где ?j и V/ — радиус-вектор и скорость /-й частицы тела относительно полюса — некоторой точки О на рис. 5.5. Используем тот факт, что в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора постоянны и скорость vi определяется как й,=1со,/*] согласно (2.20).
Тогда выражение (5.16) можно записать в виде
Отсюда проекция момента импульса на ось Xнеподвижной декартовой системы координат с началом в точке О определяется как линейная функция составляющих вектора угловой скорости со:
Аналогично вычисляются две другие проекции вектора L :
Введенные здесь девять коэффициентов 1тп (т, п — х, у, z) образуют квадратную матрицу, которая преобразуется как тензор второго порядка и называется тензором инерции (тензором момента инерции):
Диагональные компоненты тензора инерции — коэффициенты 7^, 7 , /_. — это моменты инерции тела относительно осей X, У и Z. Недиагональные компоненты тензора (5.17) называются центробежными моментами инерции тела. Поскольку / = 7 , Ixz = /,х и / = I , то тензор инерции является симметричным. В случае, когда масса т твердого тела непрерывно распределена по его объему, , 7 , Iопределяются по формулам (5.6а)—(5.6в). При этом центробежные моменты инерции будут определяться так:
Как известно, любой симметричный тензор или матрицу можно диаго- нализировать, т.е. для любого тела можно выбрать три такие взаимно перпендикулярные оси X, У, Z, для которых все недиагональные компоненты равны нулю и тензор инерции принимает вид
Такие оси являются главными осями инерции тела, а сохранившиеся диагональные компоненты тензора инерции — это главные моменты инерции. Тогда проекции момента импульса на главные оси инерции имеют вид
Как следует из полученных формул, даже в этом случае вектор Z не совпадает с вектором со по направлению.
Таким образом, тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Когда ось вращения твердого тела закреплена и совпадает с одной из осей координат, например с осью Z, то вектор угловой скорости направлен по оси Z (соЛ. =cov, =0 и со. — со) и Т. = /„со=/со. Однако если ось вращения твердого тела не закреплена, то ее нельзя считать все время направленной вдоль фиксированной оси Z и необходимо вычислять все компоненты тензора инерции.
ДАНО
L = 150 см - длина проводника.
S = 0.025 мм² - сечение проводника
Материал проводника - железо.
I = 250 мА - сила тока
НАЙТИ: U = ? - напряжение.
РЕШЕНИЕ
Сопротивление проводника по формуле:
R = ro*L/S -сопротивление.
Вычисляем в системе СИ.
ro = 10* 10⁻⁸ (Ом*м) - удельное сопротивление железа.
L = 150 см = 1,5 м - длина
S = 0.025 мм² = 0.025*10⁻⁶ = 2.5-10⁻⁸ м² - сечение провода
Вычисляем сопротивление:
R = 10*10⁻⁸ * 1.5 : (2.5*10⁻⁸) = 15 :2.5 = 6 Ом - сопротивление.
Напряжение по закону Ома (I = 250 мА = 0,25 А)
U = I*R = 6*0.25 = 1.5 В - напряжение - ОТВЕТ
