Дана производственная функция: q = 72l + 15l^2 - l^3 рассчитайте оптимальный выпуск продукции и количество работников, при котором достигается производственный оптимум

Для рассчета производственного оптимума нам необходимо найти значения количества работников (l) и выпуска продукции (q), при которых производственная функция достигает своего максимального значения.

Для начала найдем первую производную производственной функции. Затем найдем точку, в которой первая производная равна нулю, потому что это будет точка экстремума функции (минимума или максимума). Если вторая производная в этой точке положительна, это будет максимум.

Рассмотрим данную производственную функцию:
q = 72l + 15l^2 - l^3.

Для нахождения первой производной, необходимо произвести дифференцирование по переменной l.

q' = 72 + 15*2l - 3l^2.

Уравнение для нахождения производственного оптимума будет выглядеть следующим образом:

q' = 0.

72 + 30l - 3l^2 = 0.

Теперь решим полученное квадратное уравнение для нахождения значений l.

3l^2 - 30l - 72 = 0.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4*3*(-72) = 900 + 864 = 1764.

Теперь найдем значения переменной l:

l1 = (-b + √D) / (2a) = (30 + √1764) / (2 * 3) = (30 + 42) / 6 = 72 / 6 = 12.

l2 = (-b - √D) / (2a) = (30 - √1764) / (2 * 3) = (30 - 42) / 6 = -12 / 6 = -2.

Здесь мы получили два значения переменной l, l1 = 12 и l2 = -2. Однако отрицательное значение количества работников не имеет смысла в данном контексте, поэтому мы отбрасываем значение l2 = -2.

Теперь найдем оптимальное значение выпуска продукции (q) при значении l = 12, подставив это значение в исходную производственную функцию:

q = 72l + 15l^2 - l^3 = 72*12 + 15*12^2 - 12^3 = 864 + 2160 - 1728 = 864 + 432 = 1296.

Таким образом, оптимальное значение выпуска продукции (q) составляет 1296 единиц при количестве работников (l) равном 12.