Над озёрами летели гуси. На каждом озере садилась, половина гусей и ещё полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озёрах. Сколько было гусей?

Все гуси сели на семи озерах, значит на последнем озере сел 1 гусь, на предпоследнем 2, полгуся не считаем. Далее, в той же возрастающей геометрической прогрессии продолжаем до первого члена прогрессии из 7 членов: 1, 2, 4 ,8, 16, 32, 64. Сумма геометрической прогрессии равна S7 = (1 – 64*2)/(-1) = 127. В стае изначально было 127 гусей.

На последнем озере село половина всех гусей и еще полгуся и оказалось, что это все летевшие гуси. Значит, полгуся — это половина всех гусей, подлетевших к последнему озеру, а всего их было 0,5·2=1 гусь. На предпоследнем озере село половина всех гусей, подлетевших к нему, и еще полгуся, а еще один гусь полетел на последнее озеро. Значит, к этому озеру подлетело (1 + 0,5)·2=3 гуся. Рассуждая таким образом дальше, получим, что к пятому озеру подлетело 7 гусей, к четвертому — 15 гусей, к третьему — 31 гусь, ко второму — 63 гуся и, наконец, к первому — 127 гусей.