На доске выписаны все целые числа от 1 до 2014. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Докажите, что многократным повторением

Изначально сумма всех чисел на доске нечётная. При замене двух любых чисел на их разность чётность суммы всех чисел на доске не меняется (поскольку чётность суммы любых двух чисел равна чётности их разности). Следовательно, сумма всех чисел на доске всегда нечётна, и, значит, одни нули на доске остаться не могут.