На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: AC или BC

Проведем CK ⊥ AB. Точка D лежит или между B и К или между A и K.
Если D лежит между точками К и B, то KB > KD; а если проекция больше, то больше и наклонная, т.е. AB > CD.
Aналогично доказывается, что CD < AC, если точка D лежит между точками A и К.
Если D совпадает с К, то CD < CB, так как наклонная больше перпендикуляра.
Что и требовалось доказать.