Відрізки BD i B1D1 - бісектриси трикутників ABC i A1B1C1 відповідно, АВ = А1В1, BD = B1D1, AD = A1D1. Доведіть, що ∆АВС = ∆A1B1C1.

Дано: ∆АВС i ∆A1B1C1. BD - бісектриса ∆АВС, В1D1 - бісектриса ∆A1B1C1.
BD = B1B1, AD = A1D1 Довести: ∆АВС = ∆A1B1C1.
Доведення: Розглянемо ∆АВС i ∆A1B1C1.
За умовою АВ = A1В1, BD = В1D1, AD = A1D1.
За III ознакою piвностi трикутників маємо
∆ABD = ∆А1B1D1. Звідси ∟ABD = ∟А1B1D1, ∟ADB = ∟A1D1B1, ∟BAD = ∟B1A1D1 (як piвнi елементи рівних фігyp).
За умовою BD - бісектриса ∟АВС. ∟ABD = ∟DBC, B1D1 - бісектриса ∟А1В1С1,
∟А1B1D1 = ∟D1B1C1. Тому, якщо ∟ABD = ∟А1B1D1, тоді
∟ABC = ∟A1B1C1.
Розглянемо ∆BDC i ∆B1D1C1.
За умовою BD = B1D1, ∟DBC = ∟D1B1C1.
Якщо ∟ADB = ∟A1D1B1, тоді ∟BDC = ∟D1B1C1 (суміжні кути piвним кутам).
За II ознакою pівності трикутників маємо
∆BDC = ∆B1D1C1. Звідси маємо DC = D1C1, AD = A1D1.
За аксіомою вимірювання відрізків маємо
AC = AD + DC i A1C1 = A1D1 + D1C1.
Розглянемо ∆АВС i ∆A1B1C1.
AB = A1B1, AC = A1C1, ∟ВAD = ∟B1A1D1.
3a I ознакою piвностi трикутників маємо ∆АВС = ∆A1B1C1. Доведено