Остача при діленої натурального числа m на 11 дорівнює 9, а остача при діленні натурального числа n на 11 дорівнює 5. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 1.

Відповідь:

Число m можна записати у вигляді 11x + 9, де x - натуральне число.
Число n можна записати у вигляді 11y + 5, де y - натуральне число.
Добуток mn = (11х + 9)(11у + 5) = 121xy + 55x + 99y + 45 = 11(11xy + 5х + 9у + 4) + 1.
Отже, остача від ділення добутку mn на 11 дорівнює 1.