Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х∈а, Y∈b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудаленной от этих прямых

Решение.   Проведем  через  середину  М  отрезка  XY  прямую, перпендикулярную к прямым а и Ъ (рис. 178), и обозначим буквами Н и К точки пересечения этой прямой с прямыми а и Ъ соответственно. Прямоугольные треугольники ХНМ и YKM равны по гипотенузе   и   острому   углу,   поэтому   МН = = МК. Следовательно, точка М равноудалена от прямых а и Ь, а значит, согласно результату задачи 281, лежит на прямой, параллельной прямым а и Ъ и равноудаленной от этих прямых.