Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным.

Решение. Общее число рукопожатий, сделанных всеми людьми, четно. И если бы сделавших нечетное число рукопожатий было нечетно, то это правило было бы нарушено. Полезно пригласить к доске трех человек и попросить их несколько раз пожать друг другу руки. Выясняется, что при каждом рукопожатии число рукопожатий, сделанных каждым, увеличивается на 2, так что оно всегда четно.