Пусть угол между продолжениями сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD равен 90, а длина отрезка PQ, соединяющего середины

Решение. Пусть S – точка пересечения продолжений сторон AB и CD, и AD > BC. По условию, SP и SQ – медианы в прямоугольных треугольниках BSC и ASD, и, значит, SP = BP и SQ = AQ, а также ∠SBP = ∠BSP и ∠SAQ = ∠ASQ. Поскольку PQ = AQ - BP = SQ - SP, отсюда следует, что отрезок SQ равен сумме отрезков SP и PQ, и значит, точки S, P и Q лежат на одной прямой. Но тогда ∠SBP = ∠BSQ = ∠ASQ, и значит прямые BC и AD параллельны