В треугольнике ABC угол A вдвое больше угла B. Докажите, что по крайней мере две из сторон этого треугольника длиннее его биссектрисы,

Пусть AD — биссектриса. В треугольнике ADB оба угла DAB и DBA равны половине угла СAB, откуда AD = DB < CB. Заметим теперь, что один из двух смежных углов ADC или ADB не меньше 90°. Против него в соответствующем треугольнике (ADC или ADB) лежит наибольшая сторона — AC или AB соответственно. Она и будет второй стороной треугольника АВС, большей биссектрисы AD.