В клетчатом квадрате, разрезая по границам клеток, прорезали квадратную дырку поменьше. Может ли оставшаяся фигура состоять ровно из 250 клеток?

Нет, a^2-b^2 =(a-b)(a+b). Если a и b одной четности, то (a+b) и (a-b) оба четные, и разность квадратов делится на 4, иначе (a+b) и (a-b) оба нечетные и разность квадратов нечетна.