Решение, а) Прямоугольные треугольники АНМ\ и АНМ^ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АМ\ и АМ^ равны.
б) Если точки М\ и Мъ лежат по разные стороны от точки Н, то на луче НМ^ отложим отрезок ЯМз = НМ\ (рис. 193); согласно доказанному в части а) АМ^ = АМ\. В противном случае примем за точку Мз точку М\.
Угол АМ3М2 является внешним углом треугольника АНМо,, поэтому он больше прямого угла Н этого треугольника. Следовательно, в тупоугольном треугольнике АМ^М^ сторона АМ^, лежащая против тупого угла, больше стороны АМ% = АМ\, лежащей против острого угла.
Решение. Рассмотрим остроугольные треугольники ABC и А\В\С\ с высотами AD, СЕ и A\D\, C\E\ (рис.167), у которых АС = А\С\, AD = A\D\, СЕ = С\Е\. Прямоугольные треугольники АСЕ и А\С\Е\ равны по гипотенузе и катету, поэтому углы А и А\ этих треугольников равны. Прямоугольные треугольники ACD и A\C\D\ также равны по гипотенузе и катету, поэтому углы С и С\ этих треугольников равны. Следовательно, треугольники ABC и А\В\С\ равны по второму признаку равенства треугольников (АС = = Aid, ZA = ZAU ZC = ZCi).
