Решение. На продолжениях отрезков AM и А\М\ отложим отрезки MD и Mi А, равные AM и АХМХ (рис. 100). ААМС = ABMD по двум сторонам и углу между ними (AM = MD по построению; ВМ = МС, так как AM — медиана; ZAMC = ZBMD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что BD = АС.
Аналогично, из равенства треугольников А\М\С\ и B\M\D\ следует, что B\D\ = А\С\, а так как АС = А\С\ (по условию), то BD = = BXDX.
AABD = AA\B\Di по трем сторонам (АВ = АХВХ; BD = BXDX\ AD = AXDX, так как AD = 2AM, A\D\ = 2A\M\ и AM = AXMX). Отсюда следует, что медианы ВМ и В\М\ в этих треугольниках равны (см. задачу 114). Поэтому ВС = 2ВМ = 2В\М\ = В\С\ и ААВС = АА\В\С\ по трем сторонам.
Решение, а) Так как Z7 и Z8 — смежные углы, то по свойству смежных углов Z7 + Z8 = 180°. По условию Z7 = 143°, поэтому Z8 = = 180° - 143° = 37°. Итак, Zl = Z8 = 37°, а углы 1 и 8 - соответственные углы при пересечении прямых а и Ь секущей с, следовательно, а || Ь.
б) Zl = Z6 по условию, Z6 = Z8, так как углы 6 и 8 — вертикальные, поэтому Zl = Z8, а значит, как и в задаче а), а || b.
в) По условию Z.7 = 3Z3, Z1 = 45°. Но Zl = Z3, так как углы 1 и 3 — вертикальные, поэтому Z7 = 3Z1 = 135°. Так как Z7 и Z8 — смежные углы, то по свойству смежных углов Z7 + Z8 = 180°. Отсюда следует, что Z8 = 180° - 135° = 45°, т. е. Zl = Z8. Тем самым, как и в задаче а), AB \\ DE.
