а) Нужный пример дает последовательность из n подряд идущих блоков (1, 2, 3, …, n); i-ю цифру любой перестановки можно взять из i-го блока.
б) Выпишем n-1 раз подряд блок (1, 2, 3, …, n) и затем 1. В этой последовательности n2-n+1 членов. Проверим, что она n-универсальна. В самом деле, если в перестановке (k1, k2, …, kn) хоть одна пара соседних чисел kj, kj+1 стоит в порядке возрастания, то их можно взять из одного блока (1, 2, 3, …, n) (j-го по порядку), при этом последняя 1 даже не понадобится. Если это не так, то перестановка совпадает с
(n, n-1, …, 2, 1); тогда из j-го блока нужно взять n-j+1, и пригодится последняя 1.
в) Докажем утверждение методом математической индукции. Для n=1 утверждение, очевидно, выполнено, поскольку n(n+1)/2=1, и любая 1-универсальная последовательность должна содержать, по меньшей мере, 1 член.
Пусть теперь утверждение выполнено для всех натуральных чисел, меньших n. Рассмотрим произвольную n-универсальную последовательность. Отметим для каждого числа k (от 1 до n) первое его вхождение в нее. Одно из отмеченных чисел встречается на n-ом месте от начала или даже дальше. Пусть для определенности таким числом будет n. Перед ним стоит по крайней мере n-1 чисел. После него стоит последовательность, которая должна быть (n-1)-универсальной для перестановок чисел 1, 2, …, n-1. По индуктивному предположению ее длина не меньше, чем
(n-1)((n-1)+1)/2=n(n-1)/2. Поэтому длина рассматриваемой n-универсальной последовательности не меньше, чем
n+n(n-1)/2=n(n+1)/2. Ввиду произвольности рассматриваемой последовательности, утверждение доказано.
Расстояние от дома до дачи по начальным данным GPS равно: S = V1×t1, где V1 – скорость автомобиля в начале пути, а t1 = 4 час = 14400 с - предполагаемое время нахождения в пути в начале поездки. Однако со скоростью V1 автомобиль проехал расстояние S1 = V1× t2, где t2 = 80 мин =4800 с. Оставшийся путь он проехал со скоростью V2 : S – S1 = V2 (t1 – t2 - t3), где t3 = 32 мин = 1920 с.
Оставшийся путь, по условию равен 160 км, следовательно, в последнем уравнении есть только одно неизвестное – это скорость на втором участке пути, которую нам и надо найти:
V2 = (S – S1)/ (t1 – t2 + t3)
V2 = 160000/(14400 – 4800 - 1920) = 20,83 м/с = 75 км/час.
Подставим в последнее уравнение выражения для пути из первых двух:
(V1× t1 - V1× t2) = V2×(t1 – t2 - t3)
V1 = V2×(t1 – t2 - t3)/(t1 – t2)
V1 = 20,83(14400 – 4800 - 1920)/(14400 -4800) = 16,7 м/с = 60 км/час
Из первого уравнения: S = 60× 4 = 240 км.
Ответ: S = 240 км; V1 = 16,7 м/с = 60 км/час; V2= 20,83 м/с = 75 км/час.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
