Тема «Культура и искусство на современном этапе».
Задание:
. Запишите названия музеев и выставочных центров, кратко изложить историю создания.
3. Запишите имена мастеров искусства, работы которых находятся в коллекциях этих музеев:

Решение.

Исходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол.

Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный.

Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной).

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна

a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух

Ответ: 64 корня из двух

Решение.
Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник.

Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
r = S / p, где
S - площадь треугольника
p - его полупериметр

Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание - удвоенный радиус конуса, то
S = RH

Полупериметр равен
p = 1/2 ( 2R + 2m)
m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника
R - радиус окружности,  составляющей основание конуса

m найдем по теореме Пифагора как m = √( H2 + R2 ), откуда

p = 1/2 ( 2R + 2√( H2 + R2 ) ) = R + √( H2 + R2 )