Из примера Пеано легко вывести непрерывные кривые, заполняющие n-мерный гиперкуб (для любого положительного целого n). Легко было также распространить пример Пеано на кривые без начальной и конечной точки, и эти кривые заполняют всё n-мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любое другое положительное целое число).
Большинство хорошо известных заполняющих пространство кривых строятся итеративно как предел последовательности кусочно линейных непрерывных кривых, которые на каждом шаге приближаются к заполняющей пространство кривой.
Революционная статья Пеано не содержала никаких иллюстраций построения, которое было определено в терминах троичных расширений и зеркального отражения. Однако графическое построение для него было ясным — он сделал орнамент, отражающий построение кривой на своём доме в Турине. В конце статьи Пеано заметил, что техника может быть распространена на другие нечётные базисы, не только на базис 3. Его выбор избегать любой графической визуализации был, без сомнения, вызван желанием привести обоснованное, совершенно строгое доказательство, не опирающееся никак на рисунки. В то время (начало исследований в общей топологии) графические доводы часто включались в доказательство, но зачастую они служили помехой для понимания противоречащих здравому смыслу результатов.
Годом позже Давид Гильберт опубликовал в том же журнале другой вариант построения Пеано[2]. Статья Гильберта была первой статьёй, в которой был помещен рисунок представить технику построения. По существу, это был тот же рисунок, что и приведённый здесь. Аналитическая форма кривой Гильберта, однако, существенно сложнее, чем у Пеано.
Объяснение:
