Каким образом пауки дышат под водой

Специальных органов нет.
Создает из паутины и водорослей колокол, наполняет его воздухом и утаскивает под воду (удерживает волосками на брюшке и паутинными бородавками).
Этого воздуха может хватить примерно на полчаса. Потом 
колокол становится подобием жабр. Через его стенку из воды просачивается кислород (при падении концентрации кислорода внутри колокола) и обратно в воду просачивается образованный углекислый газ (когда его концентрация внутри колокола становится выше, чем в окружающей воде)
Так и дышит паук, пока система работает

Если я не ошибаюсь у пауков органами дыхания являются трахеи, водные пауки (например серебрянка) дышат воздухом, который остается между ворсинок их брюшка и вынуждены переодически всплывать. коме этого серебрянка строит из паутины домик в который натаскивает воздух с поверхности. когда домик становится нужного размера то за счет диффузии кислород в него поступает из окружающей воды, а углекислый газ уходит в воду и тем самым поддерживается оптимальное соотношение для дыхания паука.