Вопрос должен быть с местоимением your:
– What is your role in this project?
– A manager.
Теперь про ответ: если в проекте несколько менеджеров и вы один из них, то ответ верный. А если речь о том, что вы - руководитель проекта, а остальные люди - ваши подчиненные, то нужно в ответе использовать слово manager с определённым артиклем:
The manager.
(и тогда правильнее назвать человека the project manager)
