the day after tomorrow - день после завтра, послезавтра
the next day - следующий день - любой следующий день: полгода назад мы пошли рыбачить, а на следующий день готовили уху; когда я поступлю в университет, обязательно отмечу это в следующий же день
получается, the day after tomorrow - конкретный день с отсчетом от настоящего, а the next day - любой следующий день с отсчетом от определенной точки
за нехкт дэй это следующий день, а зе некст дэй афтер томоров это после завтра
