Почему в этом предложении 2.what do you like doing at weekends между like и doing не ставится предлог to? И почему like не в ing-овой форме liking
Почему не работает правило двух глаголов?

Предлог to ставится в том случае когда глагол в инфинитиве. Пример:  to do-делать; What are you doing-что ты делаешь.

Объяснение:

like не в ing окончание потому, что в данном предложение один глагол, это doing, а like в данном случае вс слово.