а) (-2·a+1/3·b)·(a+2·b)=2834
б) проекцию на вектор b: пр(a+2·b)=484/√139
в) cos(a, ^2·b)=-210/√46287
Пошаговое объяснение:
Векторы отметим жирным шрифтом.
Условие: Даны векторы a=-5·m-4·n и b=3·m+6·n,
где |m|=3; |n|=5; (m,^n)=5·π/3. Найти
а) скалярное произведение (-2·a+1/3·b)·(a+2·b);
б) проекцию на вектор b: пр(a+2·b);
в) угол между векторами cos(a, ^2·b).
Решение.
Сначала определим скалярное произведение векторов m и n:
(m,n)=|m| · |n| · cos(m,^n)=3·5·cos(5·π/3)=15·cos(300°)=15·0,5=7,5.
а) скалярное произведение
(-2·a+1/3·b)·(a+2·b)=
=(-2·(-5·m-4·n)+1/3·(3·m+6·n))·(-5·m-4·n+2·(3·m+6·n))=
=(10·m+8·n+m+2·n)·(-5·m-4·n+6·m+12·n)=(11·m+10·n)·(m+8·n)=
=11·(m,m)+88·(m,n)+10·(n,m)+80·(n,n)=11·|m|²+98·(n,m)+80·|n|²=
=11·3²+98·7,5+80·5²=99+735+2000=2834;
б) проекция на вектор b: пр(a+2·b):
|b|²=(b,b)=(3·m+6·n,3·m+6·n)=9·(m,m)+18·(m,n)+18·(n,m)+36·(n,n)=
=9·|m|²+36·(n,m)+36·|n|²=9·3²+36·7,5+36·5²=81+270+900=1251, то
|b|=√1251.
пр(a+2·b)=(a+2·b)·b/|b|=(-5·m-4·n+2·(3·m+6·n))·(3·m+6·n)/√1251=
=(-5·m-4·n+6·m+12·n)·(3·m+6·n)/√1251=(m+8·n)·(3·m+6·n)/√1251=
=(3·(m,m)+6·(m,n)+24·(n,m)+48·(n,n))/√1251=
=(3·|m|²+30·(n,m)+48·|n|²)/√1251=
=(3·3²+30·7,5+48·5²)/(3·√139)=(27+225+1200)/(3·√139)=
=1452/(3·√139)=484/√139;
в) угол между векторами cos(a, ^2·b):
|a|²=(a,a)=(-5·m-4·n,-5·m-4·n)=25·(m,m)+20·(m,n)+20·(n,m)+16·(n,n)=
=25·|m|²+40·(n,m)+16·|n|²=25·3²+40·7,5+16·5²=225+300+400=925,
то |a|=√925.
cos(a, ^2·b)=(a, 2·b)/(|a| ·|2·b|)=
=(-5·m-4·n, 2·(3·m+6·n))/(|a| ·2·|b|)=
=(-5·m-4·n, 6·m+12·n)/(√925·2·√1251)=
=(-30·(m,m)-60·(m,n)-24·(n,m)-48·(n,n))/(√925·2·√1251)=
=(-15·|m|²-42·(m,n)-24·|n|²)/(√925·√1251)=
=(-15·3²-42·7,5-24·5²)/(√925·√1251)=
=(-135-315-600)/(5·√37·√1251)= -1050/(5·√46287)= -210/√46287.
1) Пусть АВ∩СД = О (АВ пересекает СД в точке О)
2) Т к дано, что один из углов больше другого, то данные полученные углы не вертикальные (иначе были бы равны), а смежные.
3) по св-ву сумма смежных углов равна 180 град, получаем
180-70 = 110 град - два меньших угла
110 : 2 = 55 град - меньший угол
55 + 70 = 125 град - больший угол
так как два других угла, из полученных четырёх, вертикальные с уже найденными, то по св-ву вертикальных углов два оставшихся угла имеют такие же градусные меры.
ответ: 55; 125; 55; 125
