Вагон медленно движется по рельсам со скоростью v = 4 м/мин, а вдоль него идет человек. за 6 минут человек успевает дойти от начала вагона до его конца и обратно. известно, что длина вагона – 18 м. найдите, с какой скоростью шел человека относительно земли. полное решение

a)  tgx >1
 πn +π/4 < x < π/2 + πn  , n ∈ Z.

x ∈ об единение  интервалов ( πn +π/4 ; π/2 +πn );

π/4 < x < π/2  ; 
2πk+π/4 < x < π/2 +  2πk ;
2k*π+ π/4 < x <  π/2 + 2k*π  (1)  
2k _четное число .

π+ π/4  < x <3π/2 ;
π+  π/4  < x < π/2  + π ;
2πk+π+  π/4  < x < π/2  + π +2πk ;
(2k+1)π + π/4  < x < π/2 + (2k+1)π   (2)
(2k+1)__нечетное число .

 πn +π/4 < x < π/2 + πn  , n ∈ Z.

б)  сos x≤0 .
2πk +  π/2 ≤ x ≤ 3π/2  +2πk , k∈ Z.
в)     ctgx <1.
πk+ π/4 < x < π +πk
 г)   sinx ≥0 .
πk  ≤  x ≤  (2k +1)π ; k∈ Z

2πk+0  ≤  x ≤ π + 2πk ; k∈ Z.
2πk  ≤  x ≤  π + 2πk ; k∈ Z.
2πk  ≤  x ≤  (2k +1)π ; k∈ Z

Решение:
1) Область определения: D(y) x²-2x≠0
(-∞;0) (0;2) (2;∞)
2) Множество значений функции: (-∞;∞)
3) Проверим является функция четной или нечетной:
y(x)=(x-1)/(x²-2x)
y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной.
4) Найдем нули функции:
у=0, получаем х-1=0; х=1
Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания:
y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0
-x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет.
Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает.
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции:
y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0
2x³-6x²+6x-4=0
(x-1)(x²-2x+4)=0
x=1
Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз.
Точка х=1 является точкой перегиба функции.
у (1)=0
7) Найдем асимптоты функции:
а) вертикальные:
lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой.
lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные у=kx+b
k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0
b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0
следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой:
8) Все строй график!