а) (x - 3)⁴ - 5(x - 3)² + 4 = 0
t = (x - 3)²
t² - 5t + 4 = 0
t² - t - 4t + 4 = 0 (Теорема Виета)
t(t - 1) - 4(t - 1) = 0
(t - 1)(t - 4) = 0
t₁ = 1; t₂ = 4
(x - 3)² = 1 (x - 3)² = 4
x - 3 = ±1 x - 3 = ±2
x₁ = 4; x₂ = 2; x₃ = 5; x₄ = 1
б) (x² - 5x - 2)² + 4x² - 20x - 40 = 0
(x² - 5x - 2)² + 4x² - 20x - 8 - 32 = 0
(x² - 5x - 2)² + 4(x² - 5x - 2) - 32 = 0
t = x² - 5x - 2
t² + 4t - 32 = 0
t² - 4t + 8t - 32 = 0
t(t - 4) + 8(t - 4) = 0
(t - 4)(t + 8) = 0
t₁ = 4; t₂ = -8
x² - 5x - 2 = 4 x² - 5x - 2 = -8
x² - 5x - 2 - 4 = 0 x² - 5x - 2 + 8 = 0
x² - 5x - 6 = 0 x² - 5x + 6 = 0
x² + x - 6x - 6 = 0 x² - 2x - 3x + 6 = 0
x(x + 1) - 6(x + 1) = 0 x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x + 1)(x - 6) = 0 (x - 2)(x - 3) = 0
x₁ = -1; x₂ = 6; x₃ = 2; x₄ = 3
г) (x - 4)(x + 2)(x + 8)(x + 14) = 1204
Понятия не имею как решать. прости
Дана функцию f(x) = (x² - 3x) / (x - 4 ).
1 ) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке [-1; 3].
2 ) Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции .
ответ: 1 ) наибольшее 1 ; наименьшее - 0,8 .
2 )
Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ] и x ∈[ 6 ;∞) .
Функция убывает x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] ;
Точки экстремумов: x =2 точка максимума и x = 6 точка минимума .
Объяснение: D(f) : ( - ∞ ; 4) ∪ (4 ; ∞ ) [ R \ {4 } ]
( u(x) /v(x) ) ' = ( u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) ) / v²(x)
f ' (x) = ( (x² - 3x) / (x - 4 ) ) ' =( (x² - 3x) ' *(x - 4 ) - (x² - 3x)*(x-4) ' ) / (x-4)² =
( (2x - 3)*(x - 4 ) - (x² - 3x)* 1 ) / (x-4)² = (x² - 8x +12) / (x-4)² =(x-2)(x-6) / (x-4)².
f ' (x) = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0 ⇒ x₁ =2 , x₂ = 6 .
f'(x) не существует в точке x =4 , но в этой точке не существует и функция
1)
* * * x₂ = 6 ∉ [ -1 ; 3 ] * * *
x₁=2 ∈ [ -1 ; 3 ] f (x₁ ) =f (2 ) =(2² -3*2) /(2 - 4) = 1 ;
f (a ) =f (-1 ) =( (-1)² -3*(-1) ) /( (-1) - 4) = - 4/5 = - 0,8 ;
f(b) = f(3) = (3² - 3*3) /(3 -4) = 0
На промежутке [-1;3] наибольшее значение функции равно 1 (если x=2 ), наименьшее значение -0,8 (если x= - 1 ) .
2)
Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции .
f ' (x) = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0 ⇒ x₁ =2 , x₂ = 6 .
Функция возрастает , если f ' (x) ≥ 0
Функция убывает , если f ' (x) ≤ 0
По методу интервалов
f '(x ) + + + + + + + + + + [ 2 ] - - - - - - - - - - [ 6] + + + + + + +
f (x ) ↑ (возрастает) ↓ (убввает) ↑ (возрастает)
Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ] и x ∈[ 6 ;∞) .
Функция убывает x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] .
x =2 и x=6 точки экстремумов ( производная функции меняет знак при прохождения через эти точки )
x =2 точка максимума , f(2) = 1
x =6 точка минимума , f(6)=(6² -3*6) /(6 - 4) =(36-18)/ 2=9.
