Sin(x+1)+cos2x производная высшего порядка n найти - вопрос №959608112 от mdotsenko 12.12.2021 04:03

Question

Алгебра: Sin(x+1)+cos2x производная высшего порядка n найти

mdotsenko · Answer

Последовательно вычислим производные первых порядков:

$f(x)=\sin(x+1)+\cos2x\\f'(x)=\cos(x+1)-2\sin2x\\f''(x)=-\sin(x+1)-4\cos2x\\f^{(3)}(x)=-\cos(x+1)+8\sin2x\\f^{(4)}(x)=\sin(x+1)+16\cos2x$

Что мы видим? Синусы и косинусы сменяют друг друга и во втором слагаемом накручивается степень двойки. Чтобы синусы и косинусы так менялись, нужно использовать формулы приведения. С двойкой все ясно. Теперь легко получить формулу для производной порядка n:

$f^{(n)}(x)=\sin\left(\frac{\pi n}{2} +(x+1)\right)+2^n\cos\left(\frac{\pi n}{2} +2x\right)$