На доске записано 20 натуральных чисел. известно, что сумма любых пяти из них не меньше 117. найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел, записанных на доске.

Заметим, что в условии не сказано, что все числа разные. Будем считать, что числа записаны в порядке возрастания:

Условие, что сумма любых пяти из них не меньше 117, равносильно тому, что сумма наименьших пяти не меньше 117:

Чтобы сделать сумму всех чисел как можно меньше, надо сделать как можно меньше и взять все числа с большими номерами равными . Чтобы упростить рассуждение, приведу нужный набор чисел и докажу, что любой другой даст большую сумму:

Сумма первых пяти чисел равна 117, сумма всех равна 477. Сумма первых пяти тем самым минимально возможная, поэтому попытка сделать сумму всех чисел меньше приводит к тому, что должен стать меньше, чем 24, а тогда и пятый член окажется меньше 24, а тогда сумма первых пяти окажется не больше, чем .

ответ: 477