Доказать что между натуральными числами n и n! где n> 2 содержится по крайней мере одно простое число

Пусть за  хч-первая наполнит,а х+6 ч-наполнит вторая труба.1/х-производительность первой трубы в 1час,а 1/(х+6) -производительность второй.а 1/4 ч общая производительность за 1час.Составим уравнение:1/х+1/(х+6)=1/4 - приводим к общему знаменателю-4*х*(х+6)4х+4х+24=х²+6хх²-2х-24=0Квадратное уравнение, решаем относительно x:Ищем дискриминант:
D=(-2)²-4*1*(-24)=4+96=√100=10;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(10+2)/2=12/2=6;
x₂=(-10+2)/2=-8/2=-4 - этот ответ не подходит,т.к. время не может быть отрицательное.Значит первая труба в отдельности может наполнить бассейн за 6ч,а вторая 6+6=за 12часов.

Берём 15 победителей и ставим их аккуратно в линеечку :)
а 15 книг начинаем переставлять между ними (уточним задачу - книги наверняка должны быть розданы по 1 каждому, а то ведь можно роздать кому по 2 и больше а кому и ничего):
1) берём первые 3 книги 15 победителям можем их роздать так:
первую книгу мы можем роздать 15 вариантами, останется 14 детей и 2-рую книгу мы можем роздать 14 вариантами, ну и третью 13 вариантами оставшимся детям.
Но поскольку книги одинаковые то у нас получится много одинаковых роздач, а точнее по 6 одинаковых роздач каждого вида.
Почему шесть, для ответа рассмотрим роздачи 1, 2, и 3 победителям:
поскольку мы книги роздавали по 1 (сначало 1, поток 2, потом 3) то щитаем что они у нас пронумерованы.
1 побед(1 книга) - 2 (2) - 3 (3)
1 (1) - 2 (3) - 3 (2)
1 (2) - 2 (1) - 3 (3)
1 (2) - 2 (3) - 3 (1)
1 (3) - 2 (1) - 3 (2)
1 (1) - 2 (2) - 3 (1)
надеюсь суть уловили.
поскольку по 6 одинаковых, то число роздач надо разделить на 6, получим:

Осталось 12 победителей, роздаем им 4 книги, аналогично описанному выше:

ну а уж тем 8 кому не досталось книг типа 1 или 2 с почестями и с одним однозначным вариантов вручаем книгу типа 3.
а в результате получим:


А если вы чтото слышали о Комбинаторике и формулах:

то можете смело и без лишних слов написаить в ответе:


ответ: