Вася и петя играют в следующую игру. они по очереди берут яблоки из корзины, не меньше 1 и не более 7 каждый раз. на каждом ходу игроку нельзя брать столько же яблок, сколько только что взял соперник (по количеству). проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. в начале игры в корзине было 15 яблок. первым ходит вася. сколько яблок он должен взять, делая первый ход, чтобы гарантировано выиграть игру?

Обозначим через S(n) сумму цифр числа n.

  Алгоритм. Первым ходом Вася называет 1. Если число x оканчивается на k нулей, то  S(x – 1) = 2011 + 9k.  Таким образом Вася узнаёт положение самой правой ненулевой цифры в x. Положим  x1 = x – 10k.  Вася знает, что  S(x1) = 2011.  Подобрав на втором ходу число a так, что  x – a = x1 – 1,  Вася узнаёт сколько нулей в конце x1. Пусть их m. Положим  x2 = x1 – 10m.  Тогда  S(x2) = 2010.  Подобрав на третьем ходу число a так, что 
x – a = x2 – 1,  Вася узнаёт сколько нулей в конце x2, и т. д. После 2012 хода он получит  S(x2012) = 0,  тем самым найдя x.

  Оценка. Пусть Петя признался, что в записи x есть только нули и единицы, то есть  x = 10k2012 + 10k2011 + ... + 10k1,  где  k2012 > k2011 > ... > k1.  При этом задача Васи сводится к выяснению значений показателей ki. Пусть Васе не везёт, и на i-м ходу оказывается, что 10ki больше предъявленного Васей числа a. Тогда, независимо от значений k2012, ...,  ki+1,  S(x – a) = S(10ki – a) + (2012 – i).  Тем самым, о значениях  k2012, ..., ki+1  ничего не известно (кроме того, что все они больше ki). В частности, после 2011 ходов может остаться неизвестным точное значение k2012.

ответ 2012ходов