Существуют ли натуральное число, которое делится на 2018 и сумма цифр которого равна 2018?

Да конечно - причем таких чисел много

Ну например ))

294630714203775004764760913341866380349459896961210407964954313247962360202064473492920854078596677200639495309949142639328980520332962735529707696931301600598199058384983518520219041778910361180731583101835078743859614420667198971809867778012307519057709865024620596201161691325939233559684727532501940132938138006694749543687579960871036032709092114057667443605178190978153995934537219709892766503593274358093801125122012204217934892491755566927812