Дана последовательность натуральных чисел 1,2,.разрешается зачёркивать любые два числа и записывать вместо них их разность. докажите,что если в конце остался один нуль, то где-то была допущена ошибка.

Предположим, что в конце действительно остался один нуль. Тогда он получился из двух одинаковых чисел. Но тогда каждое из этих чисел получилось из двух других чисел. Следуя этой логике, в исходном наборе должно быть чётное количество чисел. Но их 2009, а это число нечётное. Получаем противоречие, следовательно, в конце не может остаться один нуль.