При каком наименьшем целом значении параметра a уравнение не имеет действительных корней: x^2 - (a - 6)x + 1/4 = 0

Квадратное уравнение не имеет корней среди действительных чисел тогда, и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

.

Дискриминант равен

.

Это парабола, которая отрицательна на промежутке

Единственное целое число в этом промежутке - 6.

Итого, ответ .

Данное уравнение квадратное, а квадратное уравнение не имеет корней при дискриминанте, меньшего нуля:
D<0
b^2-4ac<0
(-(a-6))^2-4*1/4<0
a^2-12a+36-1<0
a^2-12a+35<0
(a-7)(a-5)<0

+ - +
оо>
5 7 a

a придналежит (5;7). Наименьшим целым значением а, при котором начальное уравнение не имеет корней равно 6. 5 не подходит, ибо 5 не включается в решение неравестаа с параметром, а вот следущее целое число после пяти - это шесть.
ответ: 6