найдите допустимые значения переменной в выражении.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c,где x - переменная, a, b, c - постоянные (числовые) коэффициенты. 

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта (математики ввели себе такой термин для упрощения решения квадратных уравнений). По мимо этого, корни можно найти по теореме Виета, но вот доказать, имеет ли уравнение корни или нет по ней, к сожалению, нельзя.

Формула дискриминанта: D=b²-4ac,
откуда a,b, с - это коэффициенты из уравнения.

Если D>0 (положительный), то уравнение имеет два корня.
Если D=0, то один корень.
Если D<0 (отрицательный), то уравнение корней не имеет.

Поэтому всё задание сводится к нахождению дискриминанта:

x²-10x+27=0

a=1 (если возле переменной не стоит никакое число (например, 2, 3, -10 и т.д.), то подразумевается, что там спряталась единица)
b=-10
c=27

Подставим эти коэффициенты в формулу дискриминанта. 
D=(-10)²-4×27×1=100-108=-8 (число -8 отрицательное, поэтому уравнение корней не имеет)

x²+x+1=0
a=1, b=1, c=1
D=b²-4ac=1²-4×1×1=1-4=-3 (-3 отрицательное число, поэтому уравнение корней не имеет)

Решим первый вариант.  

x²- 8x + 67 < 0

y(x) = x² - 8x + 67 -  это  квадратичная  функция; у  которой ветви направлены вверх, так как коэффициент перед  х²  равен  1,  то есть он больше нуля.

Сначала  решим квадратное уравнение:
x²- 8x + 67 = 0

Д = 64 - 4·67 = - 204 < 0    корней нет

Если  Дискриминант меньше нуля, то данная  парабола  вся полностью лежит выше оси ОХ,  и она не будет пересекать эту ось ОХ . 

Поэтому, все значения  функции будут только положительными.

Следовательно, x²- 8x + 67 < 0     не имеет решений.