Решить 2 дифференциальных уравнения и классифицировать каждое из них: 2x(x^2+y^2)dy=y(y^2+2x^2)dx xy'-2y-xy^3=0; в этом ду решить коши y(1)=1

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

55636906ррлиод

01.10.2020 15:01

Вычислите экстримумы функции y=x³+3x²-9x на промежутке [-4;0]...

akimhikp01b5f

29.07.2022 03:23

Найдите все свойства функции функции х²-2х...

katerinarakova

13.09.2022 07:51

Преобразовать выражение в многочлен стандартного вида (3+x)(x-3)-(3-x)^2 (2x-4)^2-(2x+3)^2...

artem16021artemka16

21.07.2022 20:53

(√5−√45)²−(√13+√11)×(√11−√13)...

E1hwe

19.03.2020 00:32

Решите уравнение 4х² - 36 = 0;...

Gufka965

12.08.2020 03:05

В таблице приведена выборка результаты бега на 1000 петрович учащихся 8 класса....

thomsonrubi

19.02.2023 21:58

Стороны треугольника равны 8 см и 13 см, угол, противолежащий большей из этих сторон, равен 120 градусов.Найдите периметр треугольника....

People100

27.05.2021 01:04

В коробке лежат 12 карточек пронумерованных от 1 до 12. Какова вероятность, что на наугад вытянутой карточке будет записано число 1) кратное 4? 2) не кратное ни числу...

AmaliyaLife

19.01.2020 20:08

√25a²b³, где a 0,b 0 Можно с объяснением?...

SaySasha02

15.01.2023 01:41

Сократите выражение x-y / x^(1/2) - y^(1/2)...

Ответ:

HastWay

08.10.2020 14:50

Классификация: дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, однородное.

Убедимся, что данное уравнение однородное. Проверим условие однородности. Для этого домножим каждый x и каждый y на некоторого $\lambda\ne 0~~-const$
$2\lambda x(\lambda^2x^2+\lambda^2y^2)dy=\lambda y(\lambda^2y^2+2x^2\lambda^2)dx\\ \\ 2\lambda^3 x(x^2+y^2)dy=\lambda^3y(y^2+2x^2)dx\\ \\ 2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$

Пусть y=ux

, тогда

. Получаем

$2x(x^2+u^2x^2)(u'x+u)=ux(u^2x^2+2x^2)\\ 2(1+u^2)(u'x+u)=u(u^2+2)\\ \\ 2u'x+2u+2u^2u'x+2u^3=u^3+2u\\ 2xu'(1+u^2)=-u^3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle 2x(1+u^2)\frac{du}{dx} =-u^3 ~~~\Rightarrow~~~ \frac{(1+u^2)du}{u^3} =- \frac{dx}{2x}$
Проинтегрируем обе части уравнения, имеем:
$\displaystyle \int \frac{(1+u^2)du}{u^3} =-\int \frac{dx}{2x} ~~~\Rightarrow~~\int\bigg( \frac{1}{u^3} + \frac{1}{u} \bigg)du=-\int \frac{dx}{2x}\\ \\ \frac{1}{u^2}-2\ln|u|=\ln|x|$

Получили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x). Возвращаемся к обратной замене

$\frac{x^2}{y^2}-2\ln| \frac{y}{x} |=\ln|x|$ - общий интеграл и ответ.

$xy'-2y-xy^3=0~~|:x\\ y'- \frac{2y}{x} -y^3=0$
Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.

Применим метод Бернулли:
Пусть y=uv

, тогда

Получаем

$u'v+uv'- \frac{2uv}{x} -u^3v^3=0\\ \\ v(u'- \frac{2u}{x} )+uv'-u^3v^3=0$

1) $u'-\frac{2u}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \frac{du}{dx} =\frac{2u}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \int \frac{du}{u}=2\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \ln|u|=2\ln|x|\\ \\ \ln|u|=\ln|x^2|\\ \\ u=x^2$

2) $uv'-u^3v^3=0\\$
Подставляя u=x^2, имеем v'-x^4v^3=0

- уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \frac{dv}{dx} =x^4v^3~~\Rightarrow~~~\int \frac{dv}{v^3} =\int x^4dx~~~\Rightarrow~~~- \frac{1}{2v^2} = \frac{x^5}{5} +C\\ \\ v= \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{C-2x^5} }$

$y=uv= \dfrac{ \sqrt{5}x^2 }{ \sqrt{C-2x^5} }$ - общее решение.

Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия:
$1=\dfrac{ \sqrt{5}\cdot 1^2 }{ \sqrt{C-2\cdot 1^5} } ~~~\Rightarrow~~~ C=7$

$\boxed{y=\dfrac{ \sqrt{5}x^2 }{ \sqrt{7-2x^5} } }$ - частное решение.

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку