При каком значении x числа х - 1, 3х - 5 и 9х - 19 являются последовательными членами прогрессии?

b₁ = х - 1
b₂ = 3х - 5
b₃ = 9х - 19

b₃ : b₂ = b₂ : b₁
(9х - 19)/(3х-5) = (3х-5)/(х-1)
(9x-19)(x-1) = (3x-5)²
9x² - 9x - 19x + 19 = 9x² - 30x + 25
9x² - 28x + 19 - 9x² + 30x - 25 = 0
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3
 
ответ: при х=3

Используем основное свойство геометрической прогрессии:
  для всех n>1

Для данной последовательности (х-1);  (3х-5); (9х-19) получаем уравнение на основе основного свойства геометрич. прогрессии.
(3х-5)² = (х-1)· (9х - 19)
9х² - 30х + 25 = 9х² - 9х - 19х + 19
9х² - 30х + 25 - 9х² + 9х + 19х - 19 = 0
- 2х + 6 = 0
- 2х = - 6
х = (-6) : (- 2)
х = 3

Проверим х = 3.
3 - 1 = 2         =>  b₁ = 2 
3 * 3 - 5 = 4    => b₂ = 4 
9*3 - 19 = 8    => b₃ = 8
2;  4;  8 действительно образует геометрическую прогрессию.

ответ: х = 3