Розв'язати нерівність |x^2-x+1|> =|x^2-3x+4|

Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат. Сделаем это, по пути заметив, что нет разницы, что возводить в квадрат, число или его модуль:

|x^2 - x + 1| ≥ |x^2 - 3x + 4|
(x^2 - x + 1)^2 ≥ (x^2 - 3x + 4)^2

Переносим квадраты в одну часть и раскладываем разность квадратов:
(x^2 - x + 1)^2 - (x^2 - 3x + 4)^2 ≥ 0
((x^2 - x + 1) - (x^2 - 3x + 4))((x^2 - x + 1) + (x^2 - 3x + 4)) ≥ 0
(x^2 - x + 1 - x^2 + 3x - 4)(x^2 - x + 1 + x^2 - 3x + 4) ≥ 0
(2x - 3)(2x^2 - 4x + 5) ≥ 0

Вторая скобка не имеет корней, так как дискриминант квадратного трехчлена отрицательный: D = 16 - 40 = -24. Поскольку перед x^2 стоит положительное число, вторая скобка принимает только положительные значения, на неё можно разделить.

2x - 3 ≥ 0
2x ≥ 3
x ≥ 3/2

ответ. x ≥ 3/2