Можно ли решить арифметическую и прогрессию без например такое : выписаны первые несколько членов прогрессии: 5; −10; 20; найдите сумму первых пяти её членов.

Можно, но занимает больше времени.
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел b₁ ,   b₂ ,   b₃ ,   …  (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q  (знаменатель прогрессии), где b₁ ≠ 0  , q ≠ 0

b₁ = 5
b₂ = -10
b₃ = 20

b₄ ?
b₅ ?
S₅ ?

Вычислим q = b₂/b₁ = b₃/b₂ = -10/5 = 20/-10 =-2

b₄ = b₃*q =20*(-2)=-40
b₅ = b₄*q = -40*(-2)=80
S₅ = b₁+b₂+b₃+b₄+b₅ = 5+(-10)+20+(-40)+80=55

ответ: S₅ = 55.