Даны точки а, в, с и д. вычислить: а) площадь треугольника авс; б) высоту треугольника, проведенную из вершины в; в) угол вас. проверить лежат ли эти точки в одной плоскости. a(4; – 4; 3), b(4; – 4; 6), c(8; – 3; – 1), д(0; –3; 2).

Даны точки A(4; – 4; 3), B(4; – 4; 6), C(8; – 3; – 1), Д(0; –3; 2).

 а) Вычислить площадь треугольника АВС.
Находим длины сторон как  расстояние между точками:
d = √ ((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
Подставив координаты точек, получаем:
АВ(c) = √9 = 3, 
ВС(a) = √66 ≈ 8,1240384,
АС(b) = √33 ≈ 5,7445626.
Полупериметр р = 8,4343.
Затем по формуле Герона находим площадь треугольника АВС:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Подставив значения полупериметра и сторон, находим:
S(ABC)= 6,18465844.

б) Высота треугольника, проведенная из вершины В.
Высоту находим по формуле:
hb = 2S/b = (2*6,18465844)/5,7445626 = 2,15322.

 в) Угол ВАС.
Находим косинус угла по формуле:
cos (BAC) = (b²+c²-a²)/(2bc) = (33+9-66)/(2*√33*3) = -4/√33 ≈  -0,6963106.
Этому косинусу соответствует угол 2,3410407 радиан или 134,13175°.

г) Если представить заданные 4 точки как вершины пирамиды, то её объём равен 4. Значит, эти точки не лежат в одной плоскости.