1. найдите уравнение касательной к
графику функции f(x) = х ,
каторая параллельно прямой,
заданной уравнением у = х - 5

Дано:

Окружность с центром в т. O и D = 68. Хорда AB.

Расстояние OM = 30 от т. O до прямой AB.

Найти:

AB - ?

Решение:

Заметим, что OM ⊥ AB (так как OM - это расстояние от т. О до прямой AB - длина перпендикуляра из точки О к прямой AB).

Пусть отрезок OM лежит на радиусе OC рассматриваемой окружности. Тогда OC, как радиус, перпендикулярный хорде, пересекает эту хорду ровно в ее середине: AM = BM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, равные по первому признаку (или же по двум катетам OM = OM и AM = BM):  ΔAOM = ΔBOM.

OA = OB = D / 2 = 68 / 2 = 34, как радиусы.

OM = 30, по условию.

Применим теорему Пифагора, например, к ΔAOM:

AM² + OM² = AO²

AM² = AO² - OM²

AM² = 34² - 30²

AM² = 256

AM = 16

Значит:

AB = AM + BM = AM + AM = 16 + 16 = 32.

Задача решена!

ответ: 32.

Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратно 3.
* * * * * * * * * * * *
A² - B² = (A-B)(A+B)    
(при делении  на 3 остатки могут быть 1 или 2)
допустим :
а) остатки при делении на 3 одинаковые
A =3m +1 , B = 3n +1   * * * или  A =3m +2 , B = 3n +2  *  * * 
тогда  множитель  (A - B)  следовательно и (A-B)(A+B)   делится на 3 .
A -B =(3m +1)  -( 3n +1) = 3(m - n)  
* * * или  A -B=(3m +2) - (3n +2) =3(m-n) * * * .
---
б) остатки при делении на 3 разные
A =3m +1, B = 3n +2  * * * или  A =3m +2 , B = 3n +1  *  * * 
тогда  множитель  (A + B)     следовательно и (A-B)(A+B)   делится на 3 .
 A + B = (3m +1)+(3n +2) =3(m + n+1)
* * * или  A -B=(3m +2) + (3n +1) = 3(m+n+1) * * *