Обозначим всё это выражение через а, т.е.
![\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a](/tpl/images/0810/0402/dd995.png)
, тогда возведя обе части равенство до квадрата, получим ![\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3=a^3](/tpl/images/0810/0402/948a6.png)
В левой части равенства применим формулу куб суммы.
![2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)=a^3\\ \\ \\ 4+3\sqrt[3]{4-5}a=a^3\\ \\ a^3+3a-4=0](/tpl/images/0810/0402/ce264.png)
Легко подобрать корень 
, т.е. левая часть уравнения имеет разложение на множители:
Здесь a = 1 есть корнем уравнения и также второй множитель должен равнять нулю
Но это квадратное уравнение корней не имеет, т.к. его дискриминант 
отрицательный.
Следовательно, ![\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a=1](/tpl/images/0810/0402/53a02.png)
ответ: 1.
