Существует ли такое положительное число a, что при всех действительных x верно неравенство |cosx|+|cosax|> sinx+sinax

1. Положим 0 < a ≤ 1. 
При х=п/2 имеется неравенство |cos(aπ/2)| > 1 + sin(aπ/2) .Видно что правая часть больше 1, а левая - меньше 1.
Следовательно можно сделать вывод что неравенство не выполнено.
2. Положим a>1 и обозначив ax=b; c=1/a тогда x=bc, имеем
|cos bc| + |cos b| > sin bc + sin b. Аналогично, с пункту 1 имеем, что неравенство не выполняется для всех действительных х.